В качестве примера рассмотрим обработку гладкого вала в центрах на токарном станке.

В начальный момент, когда резец находится у правого конца вала, вся нормальная составляющая P_y усилия резания передается через заготовку на задний центр, пиноль и заднюю бабку станка, вызывая упругую деформацию названных элементов в направлении "от рабочего". Это приводит к увеличению расстояния от вершины резца до оси вращения заготовки на величину Y_зб и к соответствующему возрастанию радиуса обработанной заготовки.

Одновременно происходит упругое отжатие Y_инстр резца и суппорта в направления "на рабочего". Таким образом, в начальный момент диаметр обработанной поверхности фактически оказывается больше установленного при настройке на величину Δ=2(Y_зб+ Y_инстр).

При дальнейшей обточке, т.е. перемещении резца от задней бабки к передней, отжатие задней бабки уменьшается, но возникает отжатие передней бабки Y_пб и заготовки Y_заг. Следовательно в некотором сечении А-А фактический диаметр обтачиваемой заготовки оказывается равным:

(8)

Поскольку упругие отжатия элементов технологической системы (ТС) (кроме Y_инстр) изменяются по длине обрабатываемой заготовки, её диаметр, а следовательно и форма, оказываются переменными по длине.

Под жесткостью j ТС подразумевают способность этой системы оказывать сопротивление действию деформирующих её сил:

(9)

Иногда удобнее пользоваться понятием податливости:

поскольку всегда

(10)

а

(11)

где ω_i и j_i - податливость и жесткость i-го элемента ТС.

Если жесткость элементов станка очень велика, а жесткость заготовки мала (обточка длинного и тонкого вала на массивном станке), то отжатия Y_пб и Y_зб малы, а Y_заг значительно. В результате этого форма заготовки станет бочкообразной. Наоборот, при обработке массивной заготовки, дающей минимальный прогиб, на станке малой жесткости (Y_пб и Y_зб значительны) форма заготовки получается корсетообразной с наименьшим диаметром в середине заготовки.

1. - теоретические (заданные) образующие вала;
2. - фактические (полученные) образующие вала.

При обтачивании гладкого вала в центрах можно определить величину его прогиба, как прогиба балки, свободно лежащей на двух опорах. Наибольший прогиб вала по его середине

(12)

где L - длина заготовки; E - модуль упругости; I - момент инерции сечения заготовки: для круглого вала I=0,05D⁴.

Прогиб заготовки в данном случае в любом сечении, расположенном на расстоянии х от передней бабки

(13)

Для гладкого вала, консольно закрепленного в патроне,

(14)

Если такой валик подпереть центром задней бабки, то

(15)